оглавление

4. О самоподобии Золотой Пропорции.

В последнее время термин “Золотая Пропорция” прочно ассоциируется с такими математическими понятиями, как “фрактал”, “хаос”, “самоподобие”. Что же имеется в виду? Попробуем записать Золотую Пропорцию в виде непрерывной дроби:

τ = a₀ +

Используем для этого формулу τ = 1 + τ ^-1 :

τ = 1 + 1 / ( 1 + τ ^-1 ) = 1 + 1 / ( 1 + 1 / ( 1 + τ ^-1 ) ) = ….. , то есть:

τ = 1 +

Получилась “вложенная” бесконечная дробь, каждое из “вложений” которого равно (“подобно”) всей дроби в целом.

За это свойство Золотую Пропорцию иногда называют “самым иррациональным числом”.

Поскольку мы обратились к выражению τ = 1 + τ ^-1 , выведем из него несколько формул.

Разложим функцию f(x) = 1 / ( 1 + x ) в ряд Тейлора в точке x = 0 :

f(x) = f(0) + f’(0)*(x-0) / 1! + f’’(0)*(x-0)² / 2! + …..

Получился ряд: f(x) = ∑ (-1)ⁿ x ⁿ , n = 0, 1, 2, …….

Подставим x = τ ^{-1 :}

f(τ ^-1) = 1 – 1/ τ + 1/ τ ² – 1/ τ ³ + …..

С другой стороны: f(τ ^-1) = 1 / (1 + 1/ τ ) = 1/ τ

Получилось следующее разложение для τ ^-1 :

τ ^-1 = ∑ (-1)ⁿ τ ^-n = 1 – 1/ τ + 1/ τ ² – 1/ τ ³ + ….. , n = 0, 1, 2, ……. (1)

Сложим соседние члены ряда :

1/ τ ²ⁿ – 1/ τ ²ⁿ⁺¹ = 1/ τ ²⁽ⁿ⁺¹⁾

То есть : τ ^-1 = ∑ τ ^-2n = 1/ τ ² + 1/ τ ⁴ + ….. , n = 1, 2, ……. (2)

( Аналогичным способом, складывая 1/ τ ^2n-1 и -1/ τ ²ⁿ , получим :

τ ^-1 = 1 - 1/ τ ³ - 1/ τ ⁵ - ….. , n = 1, 2, ……. (3) )

Из формулы (2) следует : τ = 1 – 1/ τ = 1 + 1/ τ ² + 1/ τ ⁴ + ….. ,

то есть само З.С. в троичном представлении имеет следующую запись:

τ = 1,(1) = 1,1111111 …..

Приведем в заключение еще одно самоподобное выражение для З.П. (без док-ва):

τ =

далее